الإطار التحليلي والاستقرارية والتقريب التكيفي المعتمد على البواقي للمعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية غير الخطية

الملخص

تهدف هذه الدراسة إلى بحث المعادلات التفاضلية التكاملية الكسرية غير الخطية، التي تتضمن مشتقات كسرية وتكاملات غير خطية، واستكشاف طريقة عددية تكيفية للوصول إلى حلول تقريبية عالية الدقة لهذه المعادلات. كما تسعى الدراسة إلى فهم وجود الحلول وتفردها واستقرارها، ودراسة تأثير اضطراب القيم الأولية والبيانات الرياضية على استقرار الحلول واعتمادها المستمر على تلك القيم، بالإضافة إلى معالجة التحديات التي تواجه التقريب العددي نتيجة لعدم انتظام الحلول بالقرب من الزمن الأولي. وتعتمد الدراسة منهجية متكاملة تجمع بين الجوانب الرياضية والتحليلية والعددية، استناداً إلى نظام "كابوتو-فولتيرا" (Caputo-Volterra) غير الخطي. وتُستخدم التمثيلات التكاملية ونظريات النقطة الثابتة لإثبات وجود الحلول وتفردها، وتحليل استقرارها واعتمادها المستمر على القيم الأولية. كما سيتم تطوير مخطط تقريبي عددي تكيفي يدمج بين التقريب متعدد الحدود والتكامل بالضرب (product integration)، مع الاستعانة بمقدّرات الخطأ اللاحقة (a posteriori error estimators) المستمدة من بواقي المعادلات؛ وذلك لتقدير الأخطاء وبناء شبكة تكيفية تزداد دقتها في المناطق التي تتطلب دقة أعلى. وتخلص النتائج الرياضية المقدمة -في ظل شروط معينة- إلى إثبات وجود الحلول وتفردها واستقرارها، وتحديد خطأ التقريب، مع تأكيد تقارب الحلول. وبناءً على هذه النتائج الرياضية والتحليلية، يتيح المخطط الحسابي المقترح رفع دقة الحلول العددية بطريقة تكيفية، كما يسهم في إزالة القيود المتعلقة بقابلية الحل. ومع ذلك، تظل هناك حاجة لإجراء تحليل دقيق للكفاءة والتقارب من خلال سلسلة من التجارب والمحاكاة الحاسوبية.