التحليل الرياضي لمتتالية فيبوناتشي وعلاقتها بخواص الأعداد الأولية والنسبة الذهبية في ضوء نظرية الأعداد

الملخص

يتناول هذا البحث تحليلًا جبرياً وعددياً متكاملاً لمتتالية فيبوناتشي وعلاقتها بظهور الأعداد الأولية والنسبة الذهبية في ضوء نظرية الأعداد. في الجزء الأول، استعرضنا البنية الجبرية للمتتالية عبر حل المعادلة التمييزية φ² = φ + 1 داخل الحلقة الجبرية ℤ[√5] وحلقة الأعداد الجبرية ℤ[(1+√5)/2]، مبرزين كيف تضمن الصيغة المغلقة (Binet’s Formula) أن تكون جميع حدود المتتالية أعداداً صحيحة. ثم استخدمنا التحليل الطيفي لمصفوفة فيبوناتشي لإثبات أن معدل النمو يقترب من φ، مع توضيح دور القيم الذاتية في صياغة صيغة بينيه. في الجزء الثاني، درسنا توزيع الأعداد الأولية ضمن حدود المتتالية حتى n=1000 باستخدام حوسبة MAGMA، فلوحظ أن نحو 25% من أول 100 حدٍّ أولية، ثم انخفضت الكثافة إلى أقل من 5% بين الحدين 800 و1000، مع تركيز ظهورها عند المواضع n≡±1(mod 6). بعد ذلك، عمّمنا النسبة الذهبية على متتالية لوكاس والمتتاليات العودية العامة (P,Q)، فتبين أن كثافة الأوليات تتأثر بمميز المعادلة                        D=P²–4Q  وطبيعة الحلقة العددية المرتبطة بها. تساهم هذه النتائج في توضيح آليات استنباط الأوليات من البنى الجبرية للمتتاليات وتفتح آفاقاً لتطبيقات مستقبلية في التشفير وأمن المعلومات.