مبرهنة رول وتعميمها باستخدام مشتقة كاتوغامبولا الكسرية

الملخص

يمتد حساب التفاضل والتكامل الكسري ليشمل المفاهيم الكلاسيكية للاشتقاق والتكامل إلى رتب غير صحيحة، وقد أصبح أداة مهمة في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم التطبيقية. ومن بين الصياغات الحديثة للمؤثرات الكسرية، يوفر المشتق الكسري لكاتوغامبولا إطاراً موحداً يعمم عدة مشتقات كسرية كلاسيكية، بما في ذلك نوعي ريمان- ليوفيل وهادامارد. في هذا البحث، نستعرض تعريف وبعض الخصائص الأساسية للمشتق الكسري لكاتوغامبولا. كما نعيد تناول الصيغ الكسرية لبعض النتائج الكلاسيكية في حساب التفاضل، ولا سيما مبرهنة رول ومبرهنة القيمة المتوسطة، وذلك ضمن إطار مؤثر كاتوغامبولا الكسري. علاوة على ذلك، نقدم ونناقش صيغة عامة لمبرهنة رول في هذا السياق. ويتم تقديم مثال توضيحي لبيان قابلية تطبيق هذه النتيجة.